¿Cómo saber si un grupo es cíclico o isomorfo?

Si p es primo, el único grupo con p elementos (salvo isomorfismos) es Zp . El producto directo de dos grupos cíclicos Zn y Zm es cíclico si y solo si m y n son primos entre sí; en tal caso, el grupo obtenido será isomorfo a Znm. Por ejemplo, Z12 es isomorfo a Z3 × Z4, pero no a Z6 × Z2 .

¿Cómo saber si un grupo es cíclico?

Si n < ∞, entonces gn = e, puesto que n mód n = 0. Si n = ∞, entonces el grupo tiene exactamente dos generadores: 1 y -1 en Z, y sus imágenes isomórficas en otros grupos cíclicos infinitos. Todo subgrupo de G es cíclico.

¿Qué es el homomorfismo canónico?

Teorema 7 Si N es un subgrupo normal de un grupo G, y h : G −→ G/N, el cual se define h (g) = gN, entonces h es llamado el homomorfismo canónico de G en G/N. Prueba 0.1. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS 17 h es sobreyectivo, para xN ∈ G/N, h (x) = xN.

¿Cómo se clasifican los grupos cíclicos?

Por lo anterior, los grupos cíclicos son de algún modo los más simples, y han sido completamente clasificados. Por esto, los grupos cíclicos normalmente se denotan simplemente por el grupo «canónico» al que son isomorfos: si el grupo es de orden n, para n entero, dicho grupo es el grupo Zn de enteros { 0., n -1 } bajo la adición módulo n.

¿Qué es un grupo cíclico infinito?

Un grupo tal sería un grupo cíclico infinito, isomorfo al grupo Z de los enteros bajo la adición. Salvo isomorfismos, existe exactamente un grupo cíclico para cada cantidad finita de elementos, y exactamente un grupo cíclico infinito.

¿Qué es un grupo cíclico simple?

En particular, un grupo cíclico es simple si y solo si su orden (el número de sus elementos) es primo. Dado un grupo cíclico C de orden n, con generador g, el tamaño del subgrupo generado por gk para un entero k será el mínimo entero positivo m tal que mk es múltiplo de n; fácilmente se puede demostrar que m = n / mcd ( k, n ).

¿Cuál es el número primo de un grupo cíclico?

Estudiando los grupos cíclicos descubrimos que todo grupo de orden primo es isomorfo a Zp, Z p, done p p es un número primo. También establecimos que Zmn ≅Zm ×Zn Z m n ≅ Z m × Z n cuando mcd(m,n)= 1. mcd

¿Cómo calcular el tamaño de un grupo cíclico?

Dado un grupo cíclico C de orden n, con generador g, el tamaño del subgrupo generado por gk para un entero k será el mínimo entero positivo m tal que mk es múltiplo de n; fácilmente se puede demostrar que m = n / mcd ( k, n ). El índice del subgrupo generado por gk (esto es, el tamaño del grupo cociente C /< gk >) es, por lo tanto, mcd ( k, n ).

¿Qué es un automorfismo en matemáticas?

En matemáticas, un automorfismo es un isomorfismo de un objeto matemático en sí mismo. Usualmente el conjunto de automorfismos de un objeto puede recibir una estructura de grupo con la operación de composición, tal grupo recibe el nombre de grupo de automorfismos y es, a grandes rasgos, el grupo de simetría del objeto.

¿Cómo calcular el generador de un grupo cíclico?

Sea G G un grupo cíclico de orden n n y supongamos que a a es un generador para G. G. Entonces ak = e a k = e si y solo si n n divide a k. k. Supongamos primero que \\ (a^k=e ext {.}\\)